[امتحانِ درسِ‌مجموعه‌ها. مخصوصاً در موردِ سؤال‌‌های ۴ و ۵، بعضی جواب‌ها به طرزِ نامنتظَری خوب بود.]
**
توجه: در بعضی سؤالات شاید اطلاعاتِ داده‌شده کافی نباشد؛ اگر در موردی نظرتان این است که اطلاعاتْ کافی نیست، بنویسید که اطلاعات کافی نیست.
**
توجه: در بعضی سؤالات شاید اطلاعاتِ داده‌شده کافی نباشد؛ اگر در موردی نظرتان این است که اطلاعاتْ کافی نیست، بنویسید که اطلاعات کافی نیست.
۱.
همه‌ی زیرمجموعه‌های
2عضوی و
همه‌ی زیرمجموعه‌های 3عضویِ
مجموعه‌ی {1
,2 ,3 ,4 ,5} را
بنویسید.
[۲
نمره]
۲. آیا دو مجموعه‌ی A و B وجود دارند که تعدادِ زیرمجموعه‌های A سه‌برابرِ تعدادِ زیرمجموعه‌های B باشد؟ اگر بله، چنین A و Bای مثال بزنید؛ اگر نه، برای جواب‌تان دلیل بیاورید.
[۲
نمره]
۳.
در
مورد هر کدام از این احکام، مشخص کنید که
به‌نظرتان درست است یا غلط (ذکرِ
دلیل لازم نیست).
جوابِ
اشتباه می‌تواند به کم‌شدنِ نمره از
بخش‌های دیگرِ همین سؤال منجر بشود.
[۳
نمره]
(الف)
N ∈
Z.
(ب)
اگر
∅ =
A
– C،
آنگاه تعدادِ اعضای C
بزرگتر
یا مساویِ تعدادِ اعضای A
است.
(پ)
اگر
تعدادِ اعضای مجموعه‌های A
و C
مساوی
باشد، آنگاه تفاضلِ A و C تهی است.
(ت)
اگر
A =
A∩C،
آنگاه A
زیرمجموعه‌ی
C
است.
(ث)
مجموعه‌ی
{∅ ,4} چهار
زیرمجموعه دارد.
(ج)
اگر
x
عضوِ
E
– F
نباشد،
آنگاه x
عضوِ
F
است.
۴.
مجموعهای
با حداقل سه عضو معرفی کنید که هر عضوش
زیرمجموعه‌اش باشد.
[۲/۵
نمره]
۵.
آیا
مجموعهای متناهی وجود دارد که هر
زیرمجموعه‌اش عضوش باشد؟ اگر بله، مثال
بزنید؛ اگر نه، دلیل بیاورید.
[۲/۵
نمره]
۶.
اثبات
کنید که اگر ∅ =
A
– C
و
∅ =
C
– A،
آنگاه A
= C.
[۲
نمره]
۷.
با
توجه به اطلاعاتِ داده‌شده، به سؤالها
جواب بدهید (در
هر مورد به‌اختصار توضیح بدهید).
[۳
نمره]
M
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} [مجموعه‌ی
مرجع]
B
– A = {3, 5, 9}
C
– B = {2, 6, 10}
A
– C = {4, 7}
A∪B∪C
= {10, 5, 2, 3, 8, 9, 4, 1, 6, 7}
(الف)
آیا
5 عضوی
است از A∩B∩C؟
(ب) آیا 0 عضوی است از A∩B∩C؟
(پ) آیا 1 عضوی است از A∩B∩C؟
(ت) آیا 7 عضوی است از C؟
(ث) آیا 7 عضوی است از B؟
(ج) آیا 7 عضوی است از C – A؟
(چ) آیا تعدادِ اعضای B و C برابر است؟
(ح) آیا ممکن است تعدادِ اعضای A بیشتر از C باشد؟
۸.
در
کلاسی که 26
دانش‌آموز
دارد، 18 نفر
از دانش‌آموزان به ادبیات علاقه دارند
و 15 نفر
به تاریخ. در
این کلاس، هر کس به تاریخ علاقه دارد به
هندسه هم علاقه دارد.
به
این سؤالها جواب بدهید.
[۳
نمره]
(الف)
برای
این مسأله یک نمودارِ ون بکشید (ذکرِ
عددها لازم نیست).
(ب) اثبات کنید که در این کلاس کسانی هستند که هم به ادبیات علاقه دارند و هم به هندسه.
(ب) اثبات کنید که در این کلاس کسانی هستند که هم به ادبیات علاقه دارند و هم به هندسه.
(پ) اگر دقیقاً 10 نفر باشند که هم به ادبیات علاقه دارند و هم به تاریخ، چند نفر هستند که نه به تاریخ علاقه دارند و نه به ادبیات؟
(ت) اگر دقیقاً 4 نفر باشند که به هندسه علاقه دارند و به تاریخ علاقه ندارند و دقیقاً 13 نفر باشند که هم به ادبیات علاقه دارند و هم به هندسه، دقیقاً چند نفر هستند که به ادبیات علاقه دارند و به هندسه علاقه ندارند؟
این که بعضی جواب‌ها به طرز نامنتظری خوب بود، یعنی از کسانی که انتظار نداشتی جواب خوبی دادند، یا کلاً فارغ از این که چه کسی جواب داده، جواب خوبی داده شده؟
پاسخحذفمن هم بعد از این همه سال و دور بودن از درس، تلاش کردم جواب بعضی سوال‌ها را بدم؛ نتیجه‌اش بد نبود. ولی اگر بهم نخندی، سوال 4و5 مرتبط با پارادوکس راسل هست؟
خودِ جواب‌ها خوب بودند.
پاسخحذفشاید سؤالِ ۴ با پارادکس ارتباطِ مهمی نداشته باشد، چون مسأله جواب دارد--یک جواب‌‌اش مجموعهای است که از اینها تشکیل شده باشد:
ø و {ø} و {{ø}}.
اما درست می‌گویی: ۵ در واقع شکلی است از یک بیانِ امروزیِ چیزی نزدیک به پارادکسِ راسل--هیچ تابعِ پوشایی از A به مجموعه‌ی همه‌ی زیرمجموعه‌های A وجود ندارد.
راهی که برای ۵ در نظرِ من بود توجه به این بود که اگر مجموعه n عضو داشته باشد، تعدادِ زیرمجموعه‌هایش دو به توانِ n است، که از n بزرگتر است؛ پس هیچ مجموعه‌ی متناهی‌ای نمی‌ةواند همه‌ی زیرمجموعه‌هایش را در بر داشته باشد. حکم در موردِ نامتناهی‌ها هم درست است، و اثبات‌ِ استانداردش از ایده‌ای بسیار شبیه به پارادکسِ راسل استفاده می‌کند.
"مخصوصاً در موردِ سؤال‌‌های ۴ و ۵، بعضی جواب‌ها به طرزِ نامنتظَری خوب بود،" در من، که سال‌ها در دانش‌کده‌ی ریاضیِ شریف بوده‌ام، این مطلوب را برانگیخت که جوابِ من باید، طبیعتا، از جواب‌های این نوجوان‌ها به‌تر باشد. لذا این‌طور جواب دادم:
پاسخحذفمجموعهی الف نمی‌تواند تهی باشد، زیرا در این‌صورت زیرمجموعه‌ای از آن وجود دارد (مجموعه‌ی تهی) که عضوش نیست. پس فرض می‌کنم ع عضو الف باشد. آنگاه: (گامِ اولِ استقراء) {ع} زیرمجموعه‌ی الف است. بعد با استقراء ثابت می‌کنم که برای هر عدد طبیعیِ n، {...{ع}...} (n تا {} داریم،) عضوی از الف است. پس اندازه‌ی الف بزرگتر از یا مساوی با اندازه‌ی مجموعه اعدادِ طبیعی است. پس الف نمی‌تواند متناهی باشد!!!!!
الان که راهِ تو را دیدم، خنده‌ام گرفت! دو به توانِ n را جای دیگری در امتحان استفاده کرده بودم--احتمالا تا بگویم نمی‌تواند مضربی از ۳ باشد--ولی در این سوال، به ذهن‌ام--که خودش را برای پیچیدگی آماده کرده بود--نرسید.
نتیجه‌ی اخلاقی: هیچ وقت قبل از امتحان پیش‌فرضی را در ذهنِ ممتحَن القاء نکن.
:)
جوابِ نامنتظَر به سؤالِ ۵ همین بود، البته بدونِ تصریح در موردِ استقراء. (البته این هم هست که می‌دانیم هیچ مجموعه‌ی نامتناهی‌ای هم نمی‌تواند حاویِ مجموعه‌ی توانی‌اش باشد.)
حذفشاید مطالبم خیلی راجع به خود سوالات نباشه. البته به سوالات نگاه کردم و سعی کردم اونا رو حل کنم. جواب هام هم خیلی نا منتظر! نبود. برای بعضی از سوالات، از راه حل ها و فرمول هایی که به یاد داشتم استفاده کردم.
پاسخحذفبا نگاه به مجموعه سوالات این مطلب به ذهنم رسید که شما در سوال دادن می تونین یک داستان بنویسید! یعنی لزوما نباید سوالات کاملا از هم جدا باشن و توانایی شما را در به یاد آوردن فرمول ها را بسنجن! سوالات می تونن به هم ربط داشته باشن. هر کدام سرنخی می تواند باشد برای حل سوالات دیگر. به نظرم پروش این توانایی می تونه در دانش آموزا مفید باشه. اگر شما این توانایی رو نداشته باشی، هر چقدر که جلوتر میری، مثلا سال چهارم دانشگاه، وقتی با سوالات سخت و پیچیده روبرو می شی، اضطراب می گیری. نمی دونی باید چی کار کنی. نمی دونی چطور باید از مسایل، تکنیک ها و راه حل های دیگر، که شاید هم خیلی ساده و ابتدایی باشن، مثلا استقرا، استفاده کنی و یک مساله پیچیده ریاضی رو حل کنی.
دومین چیزی که به ذهنم می رسه، راجع به سوالات امتحان نیست. راجع به مجموعه هاست. آیا واقعا مطالعه اشیایی به اسم مجموعه، قوانین حاکم بر آنها، منطق آنها و شمردن آنها برای یک بچه دبیرستانی لازمه؟ نظریه مجموعه ها خلاقیت بچه را محدود نمی کنه؟